Soluções Renormalizadas para uma Equação Parabólica com Expoentes Variáveis e Dados Iniciais em L¹.

Abstract

Este trabalho apresenta resultados de existência de solução renormalizada u para a equação parabólica não-linear com expoente variável

{ ∂ tu – div (│∇u │p ⁽ ͯ ⁾⁻ ² ∇u) = ƒ em Q┬, u = 0 sobre ∑┬, u(0, ∙) = u₀ (∙) em Ω, }

em que div (│∇u │p ⁽ ͯ ⁾⁻ ² ∇u):= ∆p(x) denota o operador p(x)-Laplaciano, os dados iniciais ƒ e u₀ são não-regulares, isto é, u₀ ∈ L¹ (Ω), e ƒ ∈ L¹ (Q┬ ), e p : Ω → (1,+∞) é uma função contínua. Aqui, Ω denota um domínio espacial aberto limitado em ℝ N com N ≥ 2, cuja fronteira é dada por ∂ Ω, Q┬ = (0, T) x Ω com T > 0 e ∑┬ = (0, T) x ∂Ω. Usando a teoria de semigrupos não-lineares, esse tipo de solução é comparado com outros tipos de soluções, tais como solução integral e solução mild, para problemas de evolução envolvendo operadores acretivos em espaços de Banach. A partir da dedução de existência de uma única solução mild para o problema parabólico acima, nas condições iniciais dadas, verifica-se a unicidade de uma solução renormalizada para o mesmo.