Curvas integrais de campos de direções sobre superfícies em ℝ⁴.

Abstract

Seja α : M² → ℝ⁴ uma imersão de uma superfície regular e orientada. Suponhamos que p (a origem de NpM²) esteja fora da elipse de curvatura, para todo p ∈ M². Os dois pontos sobre a elipse de curvatura para os quais as retas através dos vetores curvatura normal são tangentes à elipse induzem um par de direções em Tp M². Assim, temos dois campos de direções tangentes em M², denominados campos de direções assintóticas. As singularidades desses campos são os pontos onde a elipse se degenera em um segmento de reta radial, isto é, os pontos de inflexão. As curvas integrais dos campos de direções assintóticas são as linhas assintóticas. As linhas assintóticas não estão necessariamente globalmente definidas e, em geral, não são ortogonais. Estudamos aqui algumas propriedades de superfícies em ℝ⁴ cujas linhas assintóticas são ortogonais. Também analisamos o comportamento das linhas assintóticas próximas a uma linha de pontos de inflexão e condições necessárias e suficientes para a hiperesfericidade de superfícies em ℝ⁴.