O perfil assimptótico de soluções com camada de transição de uma equação bi-estável

Abstract

Este trabalho tem como principal objetivo o estudo do per l assimptótico de uma família de minimizadores globais correspondentes ao funcional de energia associado ao problema −ε2∆u = h(|x|)2(u − a(|x|))(1 − u2) em B1(0) com condição de Neumann homogênea, onde a,h ∈ C1([0,1]) tal que a0(0) = 0, h0(0) = 0 e −1 < a(|x|) < 1. Estudaremos o caso onde a função a não é identicamente nula, mas a(r) ≡ 0 em um intervalo fechado I = [r1,r2] ⊂ (0,1). Mostraremos que uε(x) é radialmente simétrico e que o mesmo converge uniformemente à −1 e 1 nos subconjuntos compactos A− = {x ∈ B1(0);a(|x|) < 0} e A+ = {x ∈ B1(0);a(|x|) > 0}, respectivamente. Além disso, estimaremos a energia da camada de transição de uε(x) e mostraremos que esta camada é única em I quando ε → 0. Também provaremos que o ponto de mínimo de rN−1h(r) em I terá um papel muito importante na localização desta camada. Por m, apresentaremos futuros problemas que poderão ser resolvidos com as técnicas que serão estudadas neste trabalho, tais problemas, se resolvidos, consolidarão em resultados inéditos.