Integrabilidade local de Campos de Vetores em ℝ² e ℝ³.

Abstract

A teoria qualitativa de equações diferenciais começou ainda no século XIX com os trabalhos de Henri Poincaré e a partir daí muito foi feito, desde uma fundamentação teórica mais precisa até a resolução de problemas emergentes. Um destes problemas é decidir a estabilidade de um ponto de equilíbrio de um sistema diferencial com linearização não hiperbólica. Muitos avanços foram feitos, mas ainda restam problemas em aberto, dentre os quais é decidir quando um sistema analítico com um equilíbrio não hiperbólico monodrômico é foco ou centro. Tal problema é conhecido como problema foco-centro. Nesta dissertação, será abordado o problema foco-centro, revisando alguns conceitos para o centro do tipo linear, para estabelecer alguns resultados para o caso nilpotente. A falta de um algoritmo para analisar o caso nilpotente será um dos temas abordados, com a apresentação de um teorema que fornece um método para detecção de condições para a existência de um centro nilpotente. Também será estudado este problema com uso das integrais primeiras, analisando quando a sua existência é uma condição necessária e suficiente para um equilíbrio ser um centro. De modo a ilustrar os métodos estudados, será feita uma aplicação para sistemas específicos.