Singularidades de projeções aplicação à geometria de superfícies em ℝ³.

Abstract

O objetivo desta dissertação é estudar a geometria diferencial plana local de uma superfície regular M em ℝ³, usando a teoria de singularidades. Esta geometria é obtida através do estudo do contato de M com retas e planos. O contato com planos é medido através das singularidades dos elementos da família de funções altura H: M x S² → ℝ, (p,u) ↦ p.u. O contato com retas, por sua vez, é medido através das singularidades dos elementos da família de projeções ortogonais P : M x S² → TS², (p, u) ↦ (u,p ― (p.u)u). Escrevendo M localmente na forma de Monge z = f (x, y) obtemos condições sobre os coeficientes da expansão de Taylor de f para identificar as singularidades genéricas de Hu e Pu. Estudamos, também, o comportamento das linhas assintóticas na vizinhança de uma cúspide de Gauss.