Resumo:
O objetivo desta dissertação é o estudo sobre o índice de um ponto de equilíbrio isolado em um campo de vetores planar de classe C¹ e o estudo do campo vetorial de Loewner. Dentre os resultados principais provaremos o Teorema de Índice de Bendixson. Em campos vetoriais polinomiais estudaremos a compactificação de Poincaré em S² e apresentaremos uma prova do Teorema de Poincaré-Hopf na esfera. Os resultados obtidos da Teoria de Índice serão aplicados no estudo de pontos críticos para polinômios reais em duas variáveis e na Conjectura de Carathéodory sobre pontos umbílicos.
